Zwischenrechung nicht bezahlt , darf ich Arbeit ruhen lassen oder beenden?

Zusammenfassung: Frist zur Erhebung von Einwendungen gegen die Rechnung eines Ingenieurs

Ich bin Ingenieur und selbstständig und unabhängig beratend für Privatpersonen tätig.
Ich begleite den Bauherren planend bei Sanierungen von Wohngebäuden. Die Maßnahmen werden von Handwerkern umgesetzt, die nicht von mir beauftragt werden und ich habe keine Verantwortung für die fachgerechte Umsetzung. Neben der Planung überprüfe ich am Bau, ob die verwendeten Materialien der Planung entsprechen. Dafür werde ich vom Kunden über Angebotstellung und Zustimmung beauftragt.
Ich gehe davon aus, das es sich um einen Dienstleistungsvertrag handelt.

Zum Fall:
Ich habe einem Kunden ein Zwischenrechnung über die bisher erbrachten Leistungen gestellt. Das war zuvor auch so vereinbart worden. Leider blieb die Zahlung aus, so dass ich nach mehrfacher Erinnerung per Einwurf- Einschreiben eine Frist zur Zahlung gesetzt habe. Gleichzeitig habe ich bei fruchtlosem Verstreichen der Frist eine Ende der Zusammenarbeit angekündigt.
Bis dahin waren nach wiederholter und auch nachweislicher Rechnungszustellung (per email und Post zugestellt was mündlich bestätigt wurde) 31 Tage vergangen.

Auch diese Frist ist ohne Zahlung und ohne jegliche Reaktion des Kunden verstrichen.

Nach weiteren 12 Tagen habe ich einen Mahnantrag gestellt. Umgehend (mir liegt die Zustellbescheinigung noch nicht vor, aber die Bestätigung des Erlasses) hat der Kunde mir ca. 1/3 der Summe als Anzahlung überwiesen, und einige wenige Punkte aus der Rechung (ungenau) kritisiert. Gleichzeitig möchte er mit mir die weitere Zusammenarbeit besprechen.

Es sind also insgesamt nach nachgewiesenem Rechnungserhalt über 7,5 Wochen bis zur 1. Monierung vergangen. Zwischenzeitlich wurde der Kunde 4x schriftlich erinnert und angemahnt.


Meine Fragen:
Kann der Kunde rechtswirksam nach der verstrichenen Zahlungsfrist überhaupt noch die Rechnung monieren, wenn er sich in der Zwischenzeit nicht dazu geäußert hat?

Darf ich das Vertragsverhältnis jetzt einseitig beenden oder zumindest ruhen lassen, bis die strittigen Fragen der Rechnung geklärt sind und bis dann die (eventuell korriegierte) Rechnung vollständig beglichen ist, ohne dass mir daraus ein Nachteil erwachsen könnte?

Beide Fragen sind für mich gleich wichtig.

(zu Frage 1) In wieweit kann eine inhaltliche Antwort von mir auf seine Monierung ggf. nachteilig für mich sein - was muss ich noch beachten, außer der Ablehnung einer Anzahlung.