Unterhaltszahlung und Lohnsteuerkarteneintrag

Sehr geehrte Damen, sehr geehrte Herren,

Ich habe ein paar Fragen bezüglich Unterhaltszahlungen und Eintrag in der Lohnsteuerkarte.
Ich bin seit einem Jahr geschieden, und mein Ex – Mann und ich haben uns damals auf ein gemeinsames Sorgerecht und darauf geeinigt, das die Kinder bei ihm wohnen, da er das Haus behalten hat. Und ich brauchte keinen Unterhalt zahlen (wahrscheinlich hätte ich es auf Grund meines geringen Verdienstes auch nicht gekonnt).
Als kleinen Ausgleich für das Haus habe ich 5000 Euro bekommen.
Ich selber wohne ca. 500 Meter vom Haus entfernt, und habe die Kinder regelmäßig bei mir gehabt, bzw. bin morgens zum Haus gefahren, um die Kinder zur Schule/Kindergarten zu bringen, und nachmittags wieder abzuholen. Sie haben auch oft bei mir geschlafen.
Vor einem Monat habe ich eine Umschulung begonnen, und kann die Kinder daher nicht mehr so oft sehen, sie auch nicht mehr zur Schule fahren, sie sind dann hauptsächlich an den Wochenenden bei mir.
Da mein Ex-Mann jetzt Kurzarbeit hat, verlangt er, dass die Kinder ganz auf seine Lohnsteuerkarte kommen, was ihm für ihn wohl nicht viel mehr Netto, für mich aber 50 Euro weniger vom Arbeitsamt bedeuten würde.
Außerdem droht er, dass ihm ja von mir Unterhalt für die Kinder zusteht.
Meine Frage ist jetzt, da es sich ja um eine mündliche Absprache handelt mit dem Haus, das ich ihm für den geringen Betrag von 5000 Euro überlassen habe und er deswegen auf Unterhalt verzichten wollte, ob er tatsächlich jetzt Unterhalt von mir fordern kann, oder spätestens wenn ich nach der Umschulung einen Job habe?
Und stehen mir wirklich nicht die „halben“ Kinder auf der Lohnsteuerkarte zu, immerhin wohnen sie ja zeitweise auch bei mir?