krank geschrieben- trotzdem Urlaub im Ausland?

ich wurde heute (02.06.) von meinem Arzt wegen einer Gürtelrose bis 20.06. Arbeitsunfähig geschrieben.
Ich habe aber von 07.06. bis 13.06. Erholungsurlaub und schon eine Reise nach Spanien gebucht. Mein Arzt ist der Meinung, dass die Reise meiner Genesung nicht entgegen steht, im Gegenteil er glaubt, dass ich mich da genauso wenn nicht sogar besser erhole als zu hause. Ich soll ruhig fahren. Er war auch der Meinung, dass ich meinen Arbeitgeber nicht darüber informieren muss, dass ich mich im Ausland befinde. Bitte geben Sie mir Auskunft, ob mein Arzt Recht hat und ich nach Spanien fliegen kann und ob ich meinen Arbeitgeber informieren muss, dass ich mich im Ausland befinde.