Widerruf bzw. Kündigung Kita Betreuungsvertrag vor Antritt - Schadensersatz rechtens

Wir haben einen Krippenplatz vor Antritt schon 4 Tagen nach Unterschrift widerrufen bzw. gekündigt.

Der Kitaträger schreibt nun "trotz aller Bemühungen konnte ich den Platz ... nicht nachbesetzen."
und will nun 1000 Euro "pauschalen Schadensersatz" vom Konto einziehen.

Müssen wir zahlen ?

Unser Grund für die Kündigung war dass wir nur wenige Tage nach der Unterzeichnung überraschend einen Platz in einer viel näheren städtischen Kita bekommen haben.

Ist der "pauschalen Schadensersatz" im Standardvertrag so zulässig (Stichwort AGB) ?
Bzw. wie könnte man zu einem "geringeren" Schaden kommen ?

Greift hier ev. das Widerrufsrecht gem. "Fernabsatz"? Denn der Widerruf bzw. Kündigung erfolgte bereits nach 3 Tagen und alle Kontakte erfolgten telefonisch bzw. per Post.
Unser Kündigungstext war: "Wir widerrufen daher den Vertrag. Ersatzweise kündigen wir hiermit den Vertrag."

Der Kita-Träger konnte ja nur 4 Tage von der Vertragsgültigkeit ausgehen und hatte über 2 Monate Zeit eine Nachbesetztung zu erreichen. Es überrascht uns auch dass hier in München eine Nachbesetzung auf Probleme gestossen ist.



Auszug aus dem Vertrag :

...
Der Vertrag kommt zustande wenn der Sorgeberechtigte den ihm vom Träger überlassene Betreuungsvertrag innerhalb von 2 Wochen gegengezeichnet zukommen läßt.
...
Sollte der Vertrag vor Betreuungsbeginn durch den Sorgeberechtigten gekündigt werden, so hat der Träger mit Kündigungszugang einen Anspruch auf Bezahlung eines pauschalen Schadenersatzes i.H.v. 1000 Euro.
Dem Sorgeberechtigtem bleibt es vorbehalten, nachzuweisen dass ein Schaden nicht entstanden oder dieser wesentlich niedriger ist als die vereinbarte Pauschale. Dem Träger bleibt der Nachweis eines höheren Schadens ausdrücklich vorbehalten.

Vielen Dank für Ihren Rat !

MfG