Vertrag zustande gekommen?

Zusammenfassung:

Die Annahme eines Angebots mit gleichzeitiger Änderung der Vertragsbedingungen stellt die Ablehnung des Angebots dar, verbunden mit einem neuen Angebot. Dieses muss von der anderen Partei noch angenommen werden, damit ein Vertrag zustande kommt.

Hallo,

Wir haben über ein zentrales Anmeldeverfahren unserer Stadt einen Kindergartenplatz in einer privaten Einrichtung für September 2015 erhalten. Der Einrichtung war bekannt, dass wir einen Platz zum 01.09 suchen.
Es wurden uns die Vertragsunterlagen zugesendet, die wir unterschrieben und mit Anmeldedatum 01.09.15 zurückgesendet haben. Vom Träger kam der Vertrag mit abgeändertem Vertragsbeginn zurück. Die Eingewöhnung soll erst am 28.09 starten, 3 Tage vor Monatsende, und dauert zwischen einer und drei Wochen. De facto würde unser Kind damit die Einrichtung frühestens ab der 2ten Oktoberwoche tatsächlich besuchen.
Leider ist das für uns beruflich nicht machbar, wir brauchen einen Platz für September und haben einen solchen auch angefragt. Die Einrichtung zeigt sich nicht kooperativ, Alternativen werden nicht angeboten.
Wir haben nichts schriftlich reklamiert, unsere Bemühungen liefen zunächst sämtlich telefonisch ab. Die Konsequenz eines gültigen Vertrages wären 2 Monatsraten Ausfallgebühr, wenn wir vor Vertragsbeginn kündigen, 3 sobald der Vertrag begonnen hat zu laufen.

Meine Frage:
Ist der Vertrag auch dann zustande gekommen, wenn der Träger das Aufnahmedatum nachträglich geändert hat und hätte ich schriftlich widersprechen müssen, wenn ich durch das geänderte Datum vom Vertrag hätte zurücktreten wollen?
Herzlichen Dank für Ihre Antwort.