Fünftelregelung bei Abfindung - welcher Wortlaut muss in den Aufhebungsvertrag

Sehr geehrte Dame, sehr geehrter Herr,

ich beabsichtige, einen Aufhebungsvertrag zu unterzeichnen. Ich möchte gerne die Fünftelregelung beanspruchen und habe hierzu eine Frage:

Meine Abfindung erfüllt nach meinen Recherchen alle Kriterien, die sie für die Fünftelregelung benötigt.
Allerdings steht im Aufhebungsvertrag nur: "...das bestehende Anstellungsverhältnis wird aufgrund betrieblicher Erfordernisse mit Wirkung zum XXXX beendet."
Und: "Firma XXXXX verpflichtet sich, dem Mitarbeiter eine Abfindung in Höhe von XXXX zu zahlen. Sie ist mit der Beendigung des Anstellungsverhältnisses fällig."

Ich lese immer wieder, dass im Aufhebungsvertrag stehen muss, dass "die Abfindung als Entschädigung für den betriebsbedingten Verlust des Arbeitsplatzes gezahlt wird".

Sollte das in meinen Aufhebungsvertrag noch zwingend rein, wenn ich mit der Fünftelregelung abrechnen will, oder genügt der oben beschriebene Wortlaut?

Kann der Arbeitgeber direkt mit der Fünftelregelung abrechnen oder ist dies Sache des Arbeitnehmers? Oder wird automatisch vom Arbeitgeber voll versteuert und man macht im Nachhinein den Lohnsteuerjahresausgleich über die Fünftelregelung?

Danke und freundliche Grüße