Neuer Arbeitsvertrag, gleicher Arbeitgeber. Vorherige Kündigung notwendig?

Guten Tag,

ich habe 2015 bei einem ambulanten Pflegedienst mit einem unbefristeten Vertrag begonnen. Zwei Jahre später (2017) wurde mir ein neuer Arbeitsvertrag mit veränderten Bedingungen vorgelegt, Welchen ich unterschreiben musste. Unter anderem wurden die gesetzlichen Kündigungsfristen gestrichen und gegen eine Frist von 3 Monaten zum Quartalsende ersetzt. Da ich privat in einer Notlage war, habe ich unterschrieben, ohne mir Gedanken über die Folgen zu machen.

Jetzt habe ich meinen Vertrag am 13.07.21 gekündigt, um am 15.10.21 wieder zu studieren. Da mein Studiengang in einer anderen Stadt angeboten wurde, musste ich umziehen, weshalb die weitere Beschäftigung beim alten Arbeitgeber ohnehin nicht mehr möglich war. Da ich noch in Erinnerung hatte, dass im Arbeitsvertrag aus 2015 die gesetzlichen Kündigungsfristen vereinbart waren, war ich der Meinung, dass mein Dienstverhältnis mit dem 30.09.21 endet (Zugehörigkeit 6,5 Jahre = 2 Monate zum Monatsende). Jetzt habe ich ein Schreiben erhalten, in Welchem mir mein ehemaliger Arbeitgeber eine Vertragsstrafe (i.H.v. einem Bruttoarbeitslohn) androht, weil ich seiner Ansicht nach erst zum 31.12.21 aus dem Vertrag entlassen werden kann.

Das Kuriose an dem Arbeitsvertrag aus 2017 ist, dass mit keinem Wort erwähnt wird, dass es sich um einen Änderungsvertrag handelt und nirgendswo darauf hingewiesen wird, dass der Vertrag aus 2015 mit dem neuen Vertrag außer Kraft gesetzt wird. Der Chef hat auch nicht darauf hingewiesen, dass er die Kündigungsfristen geändert hat. Es hat also weder eine Kündigung des Vertrags aus 2015 gegeben, noch existiert im Vertrag aus 2017 irgendwo eine Bemerkung, dass es sich hierbei um einen Änderungsvertrag handelte.

Und noch merkwürdiger finde ich, dass im Vertrag von 2017 als Beginn des Arbeitsverhältnisses dasselbe Datum eingetragen ist, wie im Vertrag von 2015. Es heißt hier "... ist seit 14.03.2015 ... eingestellt", womit doch offensichtlich der ursprüngliche Vertrag geändert werden sollte?! Leider ist mir das erst jetzt aufgefallen, wo die Arbeitsbeziehung so unerfreulich endet. Meines Erachtens existieren doch somit zwei Arbeitsverträge mit unterschiedlichen Vertragsbedingungen.

Frage 1: Ist das rechtswirksam? Musste nicht erst der alte Vertrag durch eine Kündigung beendet werden? Oder zumindest der neue Vertrag ausdrücklich als "Änderungsvertrag" deklariert werden? Schließlich war ich damals relativ jung, juristisch völlig unerfahren und in einer Notlage, weshalb ich nicht genau darauf geachtet habe, was der Chef mir vorgelegt hat. Meines Erachtens existiert doch im BGB irgendwo ein "Grundsatz von Treu und Glauben"; natürlich habe ich damals dem Chef geglaubt, dass er nur mein Bestes will.

Frage 2: Ist der Arbeitgeber im Recht, wenn er mir jetzt eine Vertragsstrafe androht, obwohl ich nach dem ersten Vertrag die Kündigungsfrist korrekt eingehalten habe?

Frage 3: Muss ich im Zweifelsfall vor das Arbeitsgericht gehen? Ich weiß, dass die Verfallsklausel im Vertrag 3 Wochen nach Geltendmachung bzw. 3 Monate nach Ablehnung betragen. Insofern denke ich, dass Eile geboten ist.

Herzlichen Dank für Ihre Unterstützung!