Miete wird zu wenig gezahlt!

Lieber Herr Rechtsanwalt, liebe Frau Rechtsanwältin,

ich soll hier mal für eine gute Freundin etwas fragen und zwar:
Sie wohnt ja mit ihrem Mann und ihren beiden Kindern, 2 Jahre und 5 Monate alt in einer 3 Raum Wohnung und die Miete kostet 400 Euro, also 396 Euro genau.
Mietzuschuss bekommen sie aber nur 373 Euro.
Sie Familie lebt von Hartz4, ich habe gehört, das das Amt die volle Miete übernehmen muss, stimmt das?
Es hat folgenden Hintergrund zu Grunde und zwar:
Sie haben im Jahre 2006 ihre Tochter bekommen und haben da in einer 2 Raum Wohnung gelebt und 2007 wollten sie umziehen in diese jetzige 3 Raum Wohnung.
Leider wurde es denen nicht erlaubt, da die der Meinung waren, das eine 59 qm Wohnung für 3 Personen ausreichend wäre.
Leider war das aber auf Dauer zu enge, denn die kleine fing auch an zu laufen also haben sie sich dennoch eine neue Wohnung gesucht, von knapp 65 qm.
Da sie ja ohne ZUstimmung umgezogen sind, ist es ja so, das ihnen dann nicht dieganze Miete gezahlt wird, sondern nur der Betrag, das die alte WHG gekostet hat.
Nun ist es aber so, das ich gehört habe, das mit Geburt der 4. Person der Bedarf gedeckt wäre, so das sie nun aber die volle Miete bezahlen müssten.
Muss dazu noch sagen, das die alte Wohnung auch 400 Euro gekostet hat, aber nur wegen einem verglasten Balkon, was ja das Amt nicht übernimmt, nur das dort verglaster Balkon drinnen war, das musste man ja so hinnehmen, also hatten sie damals schon immer etwas zuzahlen müssen, damit sie auf knapp 400 Euro kommen.
Diese Wohnung hat nun aber keinen verglasten Balkon aber auf Grund des Umzugs, was ich Ihnen schrieb, eben nicht die volle Miete bezahlt wird.
Aber laut Rostocker Mietspiegel den 4en eine 4 Raum Wohnung bis 90 qm und 396 Euro kalt Miete zustehen würde, aber sie ja nur knapp 400 Euro warm Miete bezahlen und nur 65 qm haben.
Meine Freundin hat auch schon einen Überprüfungsantrag auf Grund der Berechnung gestelltund hingeschickt und gefaxt, bis heute ist noch keine Antwort gekommen, ich denke, sie werden sich damit nicht abfinden, die vom Amt.
Haben sie einen Tipp, wie sie sich verhalten soll und könnte oder wie Ihre Chancen und rechte stehen, das Geld, was sie monatlich selber aufbringen müssen, fehlt ihnen also am Ende immer.

Freue mich über schnelle Antwort wenns ginge, Gruß