Kündigung der privaten KV wurde nicht angenommen, Mahnung, Nachforderungen.

Folgende Situation:
Ich war über Jahre als Freiberufler bei einer privaten Krankenversicherung versichert.
Durch den Wechsel in eine Festanstellung war ich gezwungen in die Gesetzliche KV zu wechseln, habe daraufhin im Sommer 2010 die private KV in eine Anwartschaft umgewandelt. Nach einigen Überlegungen habe ich dann im März 2011 auch die Anwartschaft schriftlich (per Post - kein Einschreiben) gekündigt.
Im April erhielt ich dann eine Zahlungserinnerung zur Anwartschaft, nach telefonischer Rückfrage wurde mir erklärt, dass es sich wohl um einen Irrtum handele und man einen Vermerk für das Rechnungswesen hinterlegen werden.
Am 3.5.2011 erhielt ich erneut eine Zahlungsaufforderung und suchte daraufhin das Gespräch mit der für mich zuständigen Sachbearbeiterin. Sie konnte den Vermerk für das Rechnungswesen an meinem Akt finden, sich aber nicht erklären wie es dazu kam, meinte aber es liege wohl ein internes Missverständnis vor.

Ende September erhielt ich eine Mahnung über noch offene Beträge. Ein weiterer Rückruf Ende November 2011 brachte kein Licht in den Sachverhalt, am am 1.12.2011 folgte endlich die erwünschte Kündigung.

Anfang 2013 meldete sich dann ein Anwalt der im Auftrag der PKV handelt mit einer Zahlungsaufforderung unter Androhung weiterer rechtlicher Schritte.
Auf meine Darstellung des Sachverhalts wurde zuletzt nicht eingegangen, und behauptet "über den Sachverhalt wie Sie ihn schildern, liegen keine Unterlagen vor [..] der PKV liegt keine Kündigung vor". Man hätte den Vertrag erst auf Nichtzahlung hin gekündigt.
Ein Ultimatum für die ausstehenden Forderungen liegt vor, andernfalls wird ein gerichtliches Mahnverfahren eingeleitet.

Fragen:
Mir ist klar, das hier Aussage gegen Aussage steht, wie stehen die Chancen in so einem Mahnverfahren? Kann eine Private Krankenversicherung schlicht eine Kündigung ignorieren und daraufhin weiter Forderungen stellen?