Expartner zum Auszug zwingen

Sehr geehrte Damen und Herren,
wir leben aktuell gemeinsam in einem Haus, das mir allein gehört. Ich habe es 2021 gekauft, eingezogen sind wir jedoch direkt gemeinsam. Wir leben seit Ende 2016 zusammen.
Wir haben zusammen zwei gemeinsame Kinder. Mein Expartner ist noch verheiratet und hat aus dieser Ehe ebenfalls zwei (ältere) Kinder. Diese leben bei der Mutter in einem Haus, das der Mutter (also der Ehepartnerin) gehört. Von der Ehepartnerin lebt er seit 2011 getrennt, die Scheidung wurde nie eingereicht, da die Ehe nach arabischem Recht geschlossen wurde.
Mein Expartner und ich sind daher weder verheiratet noch haben wir eine eingetragene Partnerschaft o.ä.
Es gibt keinen Mietvertrag mit mir, er bezahlt auch nichts (hat er auch noch nie). Ich arbeite angestellt in Vollzeit. Er ist momentan nicht berufstätig, sondern betreut unsere Kinder (Betreuungsplätze in einer Kita haben wir erst im September). Zuvor hat er eine Ausbildung zum Erzieher gemacht, diese jedoch nicht abgeschlossen, weil er dann die Betreuung der Kinder übernommen hat. Für die Betreuung unserer Kinder bezahle ich ihm monatlich 250€ zusätzlich zum kostenlosen Wohnen. Ich habe ihn bereits mehrfach mündlich gebeten, auszuziehen. Er sitzt diese Aufforderung einfach aus. In gegenseitigem Einvernehmen scheint die räumliche Trennung daher nicht zu funktionieren.
Nun die Frage: Wenn ich ihn schriftlich mit angemessener Fristsetzung auffordere, das Haus zu verlassen, kann ich das dann ggf. auch gerichtlich erzwingen? Oder muss ich in jedem Fall darauf hoffen, dass er freiwillig auszieht, weil es irgendeine Art von Gewohnheitsrecht o.ä. gibt?
Sollte ich übergangsweise ausziehen, könnte ich die 250€ natürlich nicht mehr bezahlen. Die müsste ich für ein möbliertes Zimmer irgendwo einsetzen. Die Kinder könnte ich unter den Umständen zunächst nicht mitnehmen. Kann er daraus dann Ansprüche ableiten, dass er die Kinder behalten darf, weil ich ausgezogen bin und die Kinder in meinem Haus bei ihm gelassen habe? Oder wird dies unabhängig davon gesondert geregelt?
Vielen Dank für Ihre Antwort.
Mit freundlichen Grüßen