Eigenbedardskündigung einer Mietswohnung

Sehr geehrte Damen und Herren,

wir haben folgende Situation.
wir sind eine Familie mit vier Kindern im Alter von 7-12 Jahren. Seit Januar 2012 wohnen wir in einer 5 1/2 Zimmer DHH in Hamburg zur Miete. Bevor wir eingezogen sind, bewohnte die Vermieterin selbst die DHH. Sie ist mit ihrem Lebenspartner ausgezogen mit der Aussage, sie wolle nie wieder in diese Immobilie zurück (wegen Nachbarschaftsstreit). Seitdem bewohnt sie ihre Eigentumswohnung in einem Nachbarort.
Anfang Februar diesen Jahres hat unsere Vermieterin uns schriftlich wegen Eigenbedarfs gekündigt, mit Frist bis zum 31.12.2019. Mündlich als Grund hat sie uns angegeben, dass sie und ihr Lebensgefährte sich einen Hund anschaffen und daher in die von uns bewohnte größere DHH zurück wollen. In der schriftlichen Kündigung steht nur, dass sie die Immobilie selbst wieder nutzen und bewohnen möchte. Seit dem Auszug im Januar 2012 hat sich die Lebenssituation der Vermieterin nicht geändert, Kinder möchte sie ausdrücklich nicht haben.
Wir haben daraufhin intensiv nach Ersatzwohnraum in Hamburg und in unserer ehemaligen Heimat in Süddeutschland gesucht. Ende Juni sind wir in Süddeutschland mit einer Mietswohnung fündig geworden und haben daraufhin, um finanzielle Nachteile zu vermeiden, unsererseits den Mietvertrag auf Ende September gekündigt. Der Umzug sollte, das war uns wichtig, der Kinder wegen in den Sommerferien statt finden.
Wir hadern noch mit der Entscheidung, nach Süddeutschland zu ziehen. Folgende Fragen ergeben sich:
1) Unseres Erachtens war die Eigenbedarfskündigung nicht rechtens, da die Vermieterin mit ihrem Lebensgefährten ausreichend alternativen Wohneigentum besitzt und aktuell bewohnt. Ihr Wunsch, wieder in ihr altes Zuhause zu ziehen, rechtfertigt allein unseres Erachtens noch keine Eigenbedarfskündigung. Frage: Haben wir, nachdem wir nun selbst gekündigt haben, noch eine Chance, die Eigenbedarfskündigung anzufechten?
2) Gibt es eine Chance, eine Kostenbeteiligung der Vermieterin für den Umzug aufgrund der unserer Sicht fehlenden Berechtigung für die EB-Kündigung zu erhalten.
3) Wie hoch wären ca die Prozesskosten, falls wir gerichtlich gegen die Kündigung vorgehen bzw Entschädigung fordern? (Kaltmiete aktuell: 1350€, Umzugskosten Schätzung: 6000€)