Vor einem Jahr eingezogen ohne Mietvertrag; muss ich jetzt raus?

Guten Tag,
vor einem Jahr (Februar 2019) bin ich in eine Wohnung gezogen. Ich habe den Vermieter vor dem Einzug mehrfach gefragt was wegen dem Mietvertrag wäre und bekam immer wieder versichert, dass er mir ihn die nächsten Tage in den Briefkasten werfen würde.
Von Anfang an hatte ich klar gemacht, dass ich den Mietvertrag noch genaustens prüfen wollen würde bevor ich ihn unterschreibe (es handelt sich hier um meine zweite eigene Wohnung und ich bin damals gerade erst 19 geworden). Er meinte, dass es kein Problem wäre, aber, dass sein Mietvertrag ganz simpel wäre.
Bei Besichtigung der Wohnung merkte ich auch noch an, dass es Flecken an der Wand gäbe, die vor dem Einzug gestrichen werden müssten. Er sicherte zu, dass das passieren würde.
Seitdem ich eingezogen bin habe ich ihn anfangs vermehrt, mittlerweile nicht mehr, darauf hingewiesen, dass ich immer noch keinen Mietvertrag habe, erhielt aber immer noch die gleiche Antwort, dass er mir ihn bald zukommen lassen würde.

Da ich gelesen hatte, dass man auch mündliche Mietverträge von einer Länge bis zu einem Jahr haben kann, hatte ich mir keine Gedanken großartig gemacht. Jetzt ist das Jahr allerdings vorbei und ich habe Angst, dass mir der Vermieter von einem Tag auf den anderen die Wohnung räumen könnte und ich auf der Straße landen könnte.
Wie sieht das genau aus? Ich habe noch keinen einzigen Zent Miete oder Kaution gezahlt, wie sieht es damit aus, da es nie vertraglich festgehalten wurde was genau ich zahle und auch bei der Besichtigung nicht ganz klar gesagt wurde wie viel die Miete genau beträgt?
Sollte ich mir so schnell wie möglich eine neue Wohnung suchen? Ist das überhaupt noch meine Wohnung oder lebe ich hier ohne Mietverhältnis?
Wie sehen die rechtlichen Grundlagen in diesem Fall aus, habe ich überhaupt Rechte, wenn ja welche?
Das Haus ist generell in schlechter Verfassung (zudem haben wir keine Bio-Mülltonne und keine Rauchmelder) und der Vermieter kümmert sich selten um etwas, aber hat auch noch nie etwas gesagt wegen der fehlenden Miete etc. Alle anderen Mieter haben ihren Mietvertrag ohne Probleme erhalten.
Meine Mutter macht sich Sorgen, dass er versucht eine junge Frau wie mich auszunutzen oder mir Geld abzuziehen, weswegen ich mich einfach absichern möchte. Ich suche mir eine neue Wohnung, aber in der Stadt in der ich lebe ist das nicht so einfach aufgrund der hohen Mieten...

Mit freundlichen Grüßen & vielen lieben Dank!