Kosten eines Ersatzfluges bei Annullierung in Rechnung stellen

zuerst entschuldigt bitte die lange Geschichte, aber ich bin mittlerweile wirklich ratlos.

Im Sommer habe ich für die ganze Familie einen Flug (Zürich nach Beirut – Libanon) und zurück gebucht. Der Hinflug mit Lufthansa und Rückflug mit Swiss Air alles über Booking.com.
Der Hinflug ist normal gelaufen. Allerdings wurde der Rückflug aufgrund der damaligen Eskalation im nahen Osten gestrichen. Nach der Ankündigung der Streichung habe ich die Fluggesellschaft kontaktiert und sie konnten uns keine Alternative anbieten. Demensprechend haben sie uns angeboten, den Rückflug zu stornieren, dass wir uns um eine Alternative selbst kümmern. Das habe wir angenommen und einen Ersatzflug bei Turkish Airlines gebucht. Die Fluggesellschaft hat uns darauf hingewiesen, dass die Erstattung für den gestrichenen Flug über das Reisebüro (booking.com) geregelt werden muss. Das haben wir auch getan und am Ende ungefähr den halben Preis des gesamten Tickets zurückerstattet bekommen, also ungefähr 1000 Euro haben wir bekommen.
Ich habe dann den Kundensupport von booking.com kontaktiert und darauf hingewiesen, dass der Ersatzflug uns ungefähr 2000 Euro gekostet hat. Die Antwort von booking.com lautete „Wir können nur das weitergeben, was uns die Fluggesellschaft überwiesen hat" Also, wir mussten Swiss Air kontaktieren, um die Sache abzuklären. Der Kundendienst von Swiss Air hat mir am Telefon erklärt, dass ich einen „Antrag auf Rückerstattung bei Unregelmäßigkeiten" ausfüllen und Schicken muss, und das habe ich getan. Nach 3 Monaten ohne Reaktion und mehreren telefonischen Nachfragen und Eskalation bekam ich eine Kurze Antwort, dass meine Anforderung nicht rechtens ist, weil die Fluggesellschaft die Streichung des Fluges länger als zwei Wochen vor dem geplanten Abflug angekündigt hat. Also, die Antwort macht es schlimmer statt zu klären. Mit dieser Antwort habe ich 2 Probleme. Zum einen die Behauptung stimmt nicht, da Swiss Air die Streichung am 29.08.2024 angekündigt hat (Ein Screenshot vom Newsbrief ist vorhanden), also nur 5 Tage vor dem Abflug angekündigt hat. Zum anderen diese Antwort verweist auf das EU-Recht zur bekannten Entschädigung von bis zu 600 Euro bei Verspätung oder Annullierung, wobei bei meinem Antrag ging es nicht um die Entschädigung, sondern das Recht darauf, den Ersatzflug der Fluggesellschaft in Rechnung zu stellen, falls sie mir keine Alternative anbieten konnte. Ich zitiere hier von einem Artikel vom ADAC diesbezüglich

„Wer seine Reise trotz einer Annullierung antreten will, hat bei EU-Flügen folgende Rechte:

- Sie können eine gleichwertige Ersatzbeförderung von der Airline verlangen.

- Wird kein Ersatzflug angeboten, dürfen Sie selbst einen Flug buchen. Die Kosten dafür können Sie später in Rechnung stellen."

Ich habe anschließend diese Erklärung über das Online Kontaktformular an Swiss Air und seit 7 Wochen keine Rückmeldung bekommen, wobei ich bezweifle, dass ich auf diesem Wege überhaupt eine Antwort bekomme.

Nun wüsste ich gern, ob ich tatsächlich das von ADAC beschriebene Recht habe? und wenn ja, wie bekomme ich es am besten?

Danke euch im Voraus!