Zahlung Rundfunkgebühr / Mietvertragliche Vereinbarung

Ich hatte von August bis Dezember 2021 eine Wohnung befristet angemietet. Im Mietvertrag ist explizit festgehalten, daß in der monatlichen Mietzahlung die Rundfunkgebühr bereits enthalten ist (sowie alle anderen Nebenkosten). Der Beitragsservice ist nun an mich herangetreten und fordert die fällige Gebühr für die Zeit meiner Anmeldung in dieser Wohnung oder die Angabe der Beitragsnummer des Vermieters. Dieser hat auf mehrere Nachfragen leider nicht reagiert. Er behauptet, er habe Anfang Februar eine schriftliche Anfrage an den Beitragsservice gestellt, um seine Beitragsnummer zu erfragen. Ich möchte diese Angelegenheit trotz des geringen Streitwertes von €91,80 nicht unter den Tisch fallen lassen.
(1) Die Rechnung ist nun überfällig. Soll ich diese bezahlen, und das Geld vom Vermieter dann über eine Klage zurückfordern? Funktioniert dies auch, falls er tatsächlich den Rundfunkbeitrag bereits ordnungsgemäß bezahlt hat, mir aber lediglich diese Information nicht mitteilen möchte?
(2) Ist es notwendig, eine Mahnung/Brief mit Fristsetzung an den Vermieter zu schicken, bevor eine Klage auf Zahlung eingereicht werden kann? Der bisherige Kontakt war ausschließlich über WhatsApp.