Hoher Wasserverbrauch wg.defektem Ventil - Wer zahlt Mehrkosten?

Wir wohnen seit fast 8 Jahren in einem EFH zur Miete. Im Februar 2016 wurde durch die örtlichen Wasserwerke der Zähler abgelesen. Dabei stellte der Mitarbeiter der Wasserwerke einen extrem erhöhten Zählerstand im Vergleich zu den Vorjahren fest und empfahl eine sofortige Überprüfung der Leitungen/Rohre/Heizungsanlage vom FAchbetrieb. Wir informierten 1 Tag später den Vermieter und baten um Erlaubnis zur Auftragtserteilung beim Fachbetrieb. Diese wurde gewährt und der Fachmann war 3 Tage nach Ablesung im Haus, tauschte das Ventil aus und auch den Trichter in dem das Wasser von der Heizanlage in die Abwasserleitung geflossen ist.
Es wurde ein defekten Überdruckventil an der Heizungsanlage festgestellt. Dies hatte zur Folge, daß Wasser einfach durchgelaufen ist und somit auf der Nebenkosten-Wasserrechnung landete. Es sind insgesamt 446 m³ Wasser ins Abwasserrohr gelaufen. Die Mehrkosten betragen 739 €.
Wir wissen nicht wie lange das Wasser durchgelaufen ist. Es ist uns nichts an der Anlage aufgefallen, da wir uns nicht tagtäglich im Keller und speziell im Heizungsraum aufhalten. Es gab auch keine Geräusche in den Leitungen, die uns vom Erdgeschoss aus oder darüber im Bad aufgefallen wären.
Nun verlangt der Vermieter die Zahlung der vollen Summe durch uns. Seine Gebäudeversicherung (VGB 2000) weigert sich die Kosten zu übernehmen. Der Vermieter ist der Meinung, dass wir das defekte Ventil und das Wasserdurchlaufen hätten früher erkennen müssen und uns nicht ausreichend um die Heizungsanlage gekümmert hätten.

Wir haben die Zahlung der Mehrkosten abgelehnt, da wir unsere Obhuts-Pflicht als Mieter durchaus erfüllt sehen. Außerdem haben wir dem Vermieter mitgeteilt, daß die Wartung der Anlage nicht in unserer Pflicht steht. Schließlich hätte er mit dem örltichen Fachbetrieb einen Wartungsvertrag abschließen können, damit 1-2 x jährlich jemand vorbeikommt. Beim Kaminkehrer-Meister funktioniert das schließlich auch automatisch, ohne separate Aufforderung durch uns.
In unserem Standard-Mietvertrag ist die Übernahme der Kosten von Wartungen der Heizungsanlage nicht erwähnt.
Wie ist die rechtliche Situation in diesem Fall? Hat der Vermieter oder der Mieter recht?
Vielen Dank vorab für eine klärende Information.