Versetzungsschreiben mit Entgeltänderung nur vom Arbeitgeber unterschrieben

Guten Tag,

nach einer Neuanstellung 2018 in Entgeltgruppe A (welche auch Zielentgeltgruppe war), wurde 2019 eine Beförderung mit fachlicher Führung mit Einstufung in Entgeltstufe A+1 erreicht.
Diese Stufe war als Entwicklungsstufe angelegt, welche nach spätestens zwei Jahren wirksam werden sollte. Hierfür musste der Betriebsrat seine Zustimmung geben und es wurde im Anschluss ein Ergänzungsvertragsschreiben formuliert, welches vom MA und Personalbereich zu unterschreiben war.
Der Hauptvertrag enthält folgende Formulierung: „Ergänzungen und Änderungen dieses Vertrages bedürfen zu ihrer Wirksamkeit der Schriftform. Dies gilt auch für die Änderung des Schriftformerfordernisses selbst. Ausgeschlossen sind damit insbesondere Vertragsänderungen durch betriebliche Übung." Eine Versetzungsklausel ist nicht im Vertrag enthalten.
Im Jahr 2020 wurde in der Nachbarabteilung eine Stelle frei, die fachlich interessanter aber ebenfalls wieder in Gruppe A eingestuft war, für die der MA (nach Bewerbung und einem Gespräch) eine Zusage erhalten und auch mündlich zugesagt hat.
Dies erfolgte bevor oben genannte Entwicklungsstufe wirksam geworden war und in dem Wissen, dass eine erneute Höherstufung von der neuen Führungskraft erwirkt werden muss.
Daraufhin wurde der Wechsel vom Betriebsrat genehmigt und im Anschluss ein Versetzungsschreiben formuliert, welches nur von der Personalabteilung signiert wurde.

Nun stellt sich die Frage, ob dieses Versetzungsschreiben mit der fehlenden Unterschrift des MA vor dem Hintergrund der Formulierung im Hauptvertrag genügt, um das Ergänzungsvertragsschreiben bzw. die darin genannte Eingruppierung obsolet zu machen und ob der Anspruch geltend gemacht werden könnte?

Vielen Dank im Voraus!