Ist der Möbelkaufvertrag gültig, wenn ich für meine Frau unterschreibe?

Beim Möbelkauf hat der Berater des Möbelhauses den Kaufvertrag vorbereitet, der auf meine Ehefrau lautet. Zum Zeitpunkt der Unterschrift war meine Frau gerade nicht da.

Im Gespräch mit dem Berater habe ich darauf hingewiesen, dass für einen wirksamen Kaufvertrag die Unterschrift meiner Frau erforderlich sei, weil ich für meine Frau keine Verträge abschließen kann. Der Berater des Möbelhauses hat daraufhin entgegnet, dass ich einfach nur mit dem Nachnamen unterzeichnen soll. Ich habe dabei klar zum Ausdruck gebracht, dass ich keinen eigenen Kaufvertrag abschließen möchte.

Zuhause angekommen haben wir noch am selben Tag den Rücktritt vom Kaufvertrag erklärt, weil uns die Planung nicht zusagt.

Meine Frau hat den Kaufvertrag nicht nachträglich genehmigt.

Fragen:
Ist der Kaufvertrag unwirksam? Bin ich als Ehemann zum Schadensersatz verpflichtet, wenn dem Berater der Vertretungsmangel bekannt ist ("unterschreiben Sie nur mit dem Nachnamen")?