Herausnahme der Tochter aus dem Familientarif der KV

Guten Tag,
unser gemeinsames Kind war, da wir zunächst nicht verheiratet waren, über die Mutter gesetzlich krankenversichert, ich (der Vater) privat krankenversichert. Nach der Heirat 2006 haben wir uns aus Unwissen bzw. fehlender Zeit, sich mit diesem Theam zu beschäftigen, nicht um einen Versicherungswechsel bzw. Tarifänderung gekümmert. Nach ca. 3 Jahren kam eine Nachfrage der gestzl. KV (BEK) zwecks Eruierung des Sozialstatus, welchen wir ordnungsgemäß wider besseres Wissen wie o.a. beantwortet haben. Kurz darauf kam eine Nachforderung der BEK über insg. ca. 4500 Euro, welche wir an KV-Beitrag nachzuzahlen hätten, da die Tochter ab dem Tag der Heirat frewillig versichert hätte werden müssen. Im Nachhinein leuchtet uns das alles ein, jedoch haben wir uns zu dem Zeitpunkt keine Gedanken darum gemacht.
Frage: Gibt es Aussicht auf Erfolg im Falle eines Verfahrens vor dem Sozialgericht? Eine gütliche Einigung bzw. Entgegenkommen der KV besteht aktuell darin, mir eine Ratenzahlung über 3 Jahre anzubieten...