Sehr geehrter Fragesteller,
Ihre Anfrage möchte ich Ihnen auf Grundlage der angegebenen Informationen verbindlich wie folgt beantworten:
Ja, Sie können eine Untätigkeitsklage erheben, mit dem Ziel, dass das Finanzgericht (nicht Sozialgericht) die Familienkasse verpflichtet, auf Ihren Antrag zu entscheiden.
Allerdings empfehle ich Ihnen zunächst bei der Familienkasse nachzufragen, was der Bearbeitungsstand ist und als Druckmittel die beabsichtigte Untätigkeitsklage zu erwähnen.
In der Sache selbst, d.h. zu Ihrer KG- Berechtigung folgendes:
Sie haben Recht, dass dem Vater kein KG zusteht, da Sie grundsätzlich die vorrangig anspruchsberechtigte sind, da die Kinder in Ihrem Haushalt leben, § 64 EStG
https://dejure.org/gesetze/EStG/64.html
Allerdings können die Eltern vereinbaren, dass das KG demjenigen ausgezahlt wird, bei dem die Kinder nicht leben. Das geschieht im Antrag auf KG mit Unterschriften beider Eltern. Es kann also sein, dass der Kindesvater Ihre Unterschrift gefälscht hat und die Familienkasse daraufhin von seiner Berechtigung ausgeht. Wird die Familienkasse ihm das beweisen können, besteht ein Rückforderungsanspruch. Sonst nicht. Abgesehen davon muss die Familienkasse auf Ihren Antrag im 2017 entscheiden. Ob Sie das Geld für die vergangenen 4 Jahre bekommen, kann ich nicht beurteilen, denn grundsätzlich wirkt der Antrag 6 Monate zurück. Des Weiteren können Sie überlegen, ob Sie den Kindesvater zur Zahlung des zu Unrecht bezogenen KG auffordern und ihm mit einer Strafanzeige drohen (Unterschrift gefälscht) oder tatsächlich anzeigen.
Ich hoffe, Ihre Frage verständlich beantwortet zu haben und bedanke mich für das entgegengebrachte Vertrauen. Bei Unklarheiten können Sie die kostenlose Nachfragefunktion benutzen.
Mit freundlichen Grüßen