GKV verweigert Kostenübernahme einer Notfall OP auf Mallorca

Meine Mutter, 87, war im Dezember 2015 zu Besuch bei mir auf Mallorca, wo ich lebe. Bei einem Sturz erlitt sie am 29.12. einen offenen Unterarmbruch und ich brachte sie daraufhin in eine Klinik in Palma, wo sie behandelt und operiert wurde. Im Nachhinein stellte sich heraus, dass es sich um eine Privatklinik handelte. Die folgende Rechnung über knapp 20.000 EUR habe ich übersetzen lassen und an die GKV (Barmer Ersatzkasse) meiner Mutter gesendet. Diese hat die Rechnung an den spanischen Versicherungsträger weitergeleitet und uns nun deren Ablehnung mitgeteilt, mit der Begründung, es würde sich um eine reine Privatleistung handeln. Kann man in so einem Notfall von einer privaten Leistung sprechen? Hätte ich mit meiner Mutter von Krankenhaus zu Krankenhaus fahren müssen, um herauszufinden, ob die Behandlung mit der GKV abrechenbar ist? Muss die GKV nicht wenigstens den gesetzlich vorgesehenen Betrag für diese notwendige OP und Behandlung übernehmen, der in einem abrechenbaren Krankenhaus angefallen wäre? Wir haben Widerspruch gegen diese Entscheidung eingelegt. Besteht Aussicht auf eine wenigstens anteilige Kostenerstattung? Es besteht noch eine Krankenhauszusatzversicherung, die uns jedoch aufforderte, ihnen erst dann die Rechnung zu übersenden, wenn die GKV über eine Kostenübernahme entschieden hat. Bevor wir dies tun, möchte ich ihre Antwort abwarten.