Wie mache ich die Karenzentschädigung aus dem nachvertraglichen Wettbewerbsverbot geltend?

Sehr geehrte Damen und Herren,

ich habe meinem Arbeitgeber vor kurzem noch während meiner Probezeit gekündigt, da ich demnächst ein Masterstudium beginnen werde. Mein Arbeitsvertrag beinhaltete ein Nachvertragliches Wettbewerbsverbot, in der steht dass ich mich verpflichte:

"... für die Dauer von 3 Monaten nach Beendigung des Vertrages mit dem Arbeitgeber weder unmittelbar noch mittelbar in Wettbewerb zu treten, insbesondere nicht in selbstständiger, unselbstständiger oder sonstiger Weise für ein Unternehmen tätig zu werden, welches mit dem Arbeitgeber in direktem oder indirektem Wettbewerb steht."

Außerdem steht dort noch, dass ich für die Dauer des Verbots eine Karenzentschädigung bekomme. Und zwar die Hälfte der zuletzt bezogenen vertragsgemäßen Leistung monatlich.

Für mich ist die Sache klar, nämlich dass mir diese Karenzentschädigung zusteht, aber mein Vorgesetzter lehnt die Zahlung mit folgender Begründung ab: Das Verbot gelte nicht weil ich gekündigt habe und weil ich nicht in Wettbewerb mit ihnen trete. Mein Eindruck ist, dass sie sich einfach darum drücken wollen.

Meine Frage ist nun: Steht mir jetzt die Entschädigung nun zu oder nicht? Und wenn ja, wie kann ich das durchsetzen ohne gleich vors Gericht zu ziehen? Muss ich bestimmte Fristen einhalten, während dessen ich meinen Anspruch geltend machen muss? Gibt es Urteile zu ähnlichen Fällen mit denen ich gegenüber meinem Vorgesetzten argumentieren kann?
Ich würde mich nur ungern mit meinem ehemaligen Arbeitgeber anlegen, weil ich ggf. meine Masterarbeit dort machen will. Wenn ich aber im Recht bin, will ich das auch durchsetzen.