Verkauf PKW von Privat nach Privat

Ich habe vor wenigen Tagen meinen gebrauchten Wagen privat verkauft. Angeboten wurde das Auto online. Sämtliche Mängel wurden aufgezählt. Es handelt sich dabei um einen Golf 3 mit einem Alter von 17 Jahren und noch 1,5 Jahre Tüv.

Der Käufer hatte sich das Auto ca. 3 Wochen zuvor mit seiner Tochter angesehen und Probegefahren. Ich war während dessen alleine anwesend. Alle mir bekannten Mängel habe ich genannt. Wir einigten uns auf einen Preis. Ich bot einen Kaufvertrag an, jedoch handelte es sich um eine Summe von 700 Euro, so dass der Käufer es einfach auf die Hand wollte, ohne Vertrag.
Das Auto wurde vor wenigen Tagen an den Käufer übergeben und es war im gleichen Zustand wie zur Besichtigung.

Nun hat der Käufer das Auto in eine Werkstatt gebracht und einen erheblichen Rostschaden an der Karosserie am Stoßdämpfer festgestellt, der vorher weder mir noch dem Käufer aufgefallen war, da er zum großen Teil von Lack bedeckt war.
Der gesamte Rost und das Material um den Rost wurde frei gemacht (herausgestoßen) und mir wurden Bilder zugesandt.

Der Käufer möchte nun das Auto zurück geben und das Geld wieder zurück. Ich habe das Auto nach besten Wissen und Gewissen verkauft. Selber bin ich mit dem Wagen noch bis zum Tag der Übergabe gefahren, ohne etwas vom Schaden gemerkt zu haben. Das Auto ist bereits auf den Käufer angemeldet.

Hat der Käufer nun das Recht, das Auto zurück zu geben und das Geld zurück zu verlangen? Welche Möglichkeiten haben ich?

Ich habe aus Kulanz eine Teilerstattung (33%) angeboten, die bis jetzt nicht akzeptiert wurde.

Ich bitte um rechtlichen Rat.