Urlaubsanspruch nach längerer Krankheit bei befristetem Arbeitsvertrag

Zusammenfassung: Der Arbeitgeber hat bei der Bestimmung des Urlaubszeitpunktes die Wünsche des Arbeitnehmers zu berücksichtigen, sofern keine dringenden betrieblichen Belange oder Urlaubswünsche sozial bevorrechtigter Arbeitnehmer bestehen.

Sehr geehrte Damen und Herren,

folgender Fall:

Person A ist bei einem Träger tätig, welcher aufgrund der projektbasierten Arbeit alle Arbeitsverträge nur befristet ausstellt.
Der Arbeitsvertrag läuft zum 31.07. aus.
Eine Verlängerung wurde seitens des Arbeitgebers angekündigt, liegt aber noch nicht vor.
Person ist seit Anfang Mai erkrankt (massive Überlastung aufgrund der Arbeitsbedingungen). Die Krankschreibung wird voraussichtlich noch länger bestehen.
Im Vorfeld wurde bereits für Ende Juli Urlaub eingereicht und genehmigt. Es besteht noch ein Resturlaub von 7 Tagen (bis 31.07.).

Nun hat es sich während der Krankheitsphase ergeben, dass Person A eine neue Tätigkeit angeboten bekommen hat, auf die sie sich im März beworben hatte. Die neue Tätigkeit beginnt ab dem 01.08.
Sie wird diese Tätigkeit auch antreten, also den Verlängerungsvertrag beim alten Arbeitgeber nicht mehr unterschreiben.

Zum jetzigen Zeitpunkt ist damit zu rechnen, dass Person A erst wieder Ende Juni / Anfang Juli arbeitsfähig ist.

Person A würde gern den Resturlaub beim alten AG so beantragen, dass die Tage vor ihrem bereits genehmigten Urlaub liegen und sie ab Mitte Juli in den Urlaub gehen kann und der Arbeitsvertrag regulär am 31.07. ausläuft.
Aus Erfahrung weiß sie jedoch, dass es bereits bei Kollegen in ähnlichen Fällen Probleme gegeben hat und vom Arbeitgeber Urlaub gar nicht mehr genehmigt wurde bzw. genau vorgeschrieben wurde, wie Tage zu nehmen sind. Bsp. 1 Tag Urlaub, 2 Tage Arbeit, 1 Tag Urlaub etc.

Frage:
Inwieweit kann der Arbeitgeber bestimmen, wie der Urlaub zu nehmen ist?
Kann er einzelne Tage genau vorschreiben?
Könnte Person A im Zweifelsfall eine Festlegung des Arbeitgebers hinsichtlich des Resturlaubes ablehnen (kein Erholungseffekt bei Aufteilung in mehrere freie Tage, nicht sinnvoll hinsichtlich Familienurlaubsplanung etc.) und auf eine Auszahlung bestehen?

Falls Person A doch länger krankgeschrieben ist und der Resturlaub gar nicht mehr oder nur zum Teil genommen werden kann - kommt hier auch eine Auszahlung in Betracht?

Es geht also hauptsächlich darum zu klären, Rechte sowohl AN als auch AG bei der Urlaubsfestlegung haben und wie ggf. bei Unstimmigkeiten verfahren werden kann.

Vielen Dank für Ihre Hilfe!