Übernahme von Beerdigungskosten

Eine Frau (Schweizerin/Rentnerin) ist vor ein paar Jahren zu einem Mann nach Deutschland gezogen und lebte mit ihm (er als Untermieter) in einer Wohnung mit gemeinsamer Haushaltsführung, aber ohne Verheiratung. Dieser Mann hat wegen niedriger Rente laufende Mittel vom Sozialamt erhalten. Vor zwei Monaten verstarb dieser Mann und hat keinerlei Erbe/Vermögen hinterlassen. Die Frau hat daraufhin gutgläubig die Beerdigung organisiert in dem Glauben, dass diese vom Sozialamt übernommen wird. Der Verstorbene hatte drei eigene Kinder, die miteinander verstritten sind und auch zum Vater keinen Kontakt hatten.
Als die Frau nun mit den erhaltenen Rechnungen für die Beisetzung (ca. 3.500 €) zum Sozialamt ging, bekam sie von dort eine negative Auskunft über die Kostenübernahme, da dies nur dann möglich gewesen wäre, wenn von dort auch die Beerdigung veranlasst wurde. Die drei leiblichen Kinder lehnen ebenfalls eine Übernahme der Kosten ab. Die Frau hat nur eine mittlere Rente, muss davon Wohnung, Krankenversicherung, einen Kfz-Kredit etc. bezahlen und hat praktisch keine Mittel, diese Kosten zu begleichen.
Ist das Sozialamt berechtigt, die Übernahme der Beerdigungskosten (anonymes Urnengrab) abzulehnen?
Wenn ja, wer ist vorrangig zur Übernahme dieser Kosten verpflichtet, der Auftraggeber oder die leiblichen Kinder?
Wenn die Kinder zahlungspflichtig sind, ist dann das Sozialamt verpflichtet, vorläufig die Kosten zu übernehmen und dann selber wieder einzutreiben?