Schulrecht, Schulamt Zustimmung für eine private Schule

Guten Tag,
wir leben in BW, Kreis Esslingen und wir möchten unseren geistig behinderten Sohn ab nächstes Schuljahr (fünfte Klasse) in einer teilweise private Sonderschule in Stuttgart umschulen. Wir haben ohne Probleme einen Platz in dieser Schule bekommen. Zuerst sollten wir die Zustimmung von Schulamt bekommen, dass diese Schule geeignet für unserer Sohn ist und dann einen Eingliederungshilfe Antrag bei Sozialamt machen. Wir haben keine schriftliche Zustimmung bekommen weil "man braucht nicht" WENN das Sozialamt die Finanzierung akzeptiert. Nach Monaten ping-pong zwischen Ämter wurde den Antrag abgelehnt. Wie haben einen Wiederspruchrecht und wird benutzt. Ich habe das Schulamt nochmal nach der Zustimmung gefragt, für den Fall wenn wir für eine Privatzahlung der Schule sich entscheiden. Und da Überraschung: die Zustimmung wird gegeben NUR wenn wir für die Privatzahlung unterschreiben. Das klingt mir illegal weil eine Schule ist oder nicht geeignet, egal wer die Kosten dafür trägt. Ich vermute dass, wenn das Schulamt seine Zustimmung dafür gibt, kann das Schulamt schwieriger die Ablehnung unseres Antrag erklären. Sollen wir vielleicht den Wiederspruch direkt mit einem Anwalt vorbereiten?
Um eine schnelle Antwort werde ich mich sehr freuen.
Mit freundlichen Grüssen,