Schlüssel für Mietwohnung an Erben verweigert

Mein Vater verstarb kürzlich und hinterließ eine verschlossene Mietwohnung; die Schlüssel sind verloren gegangen. Der Vermieter kann einen Nachschlüssel herstellen. Ich bin einziger Erbe (keine Ehefrau des Verstorbenen vorhanden, keine Geschwister).

Zur Sichtung (für die Entscheidung auf ggf. Ausschlagung des Erbes innerhalb der 6-Wochen-Frist) und Verwaltung des Nachlasses (zur Gefahrenabwehr wegen seit Monaten offener Fenster in der kälter werdenden Jahreszeit) benötige ich kurzfristig Zugang zur Wohnung.

Der Vermieter weigert sich jedoch, einen Ersatzschlüssel herauszugeben, mit Hinweis darauf, dass ein Erbschein notwendig wäre. Ohne diesen sei unklar, ob noch weitere Erben (ggf. doch eine Ehefrau?) existieren oder ein Testament. Den Schlüssel an einzelne Erben herauszugeben, sei nicht möglich.

Ich kann qua Geburtsurkunde nachweisen, dass ich der Sohn des Erblassers bin. Damit bin ich auf jeden Fall Teil der Erbengemeinschaft, selbst wenn weitere Kinder oder eine Ehefrau existieren sollten. (Sofern kein Testament mich enterbt – und es ist keins bekannt, aber auch das ist natürlich nicht nachweisbar.)

Der Vermieter befürchtet, haftbar zu sein, wenn er einen Schlüssel an mich herausgibt und ich dann Teile der Erbmasse ohne Absprache mit den womöglich existierenden anderen Erben an mich nehme.

Habe ich als Mitglied der Erbengemeinschaft ein Anrecht auf Zugang zur Wohnung oder nicht?

Der Fall ist natürlich absurd, da ich alleiniger Erbe bin, aber das nicht kurzzeitig nachweisen kann.