Pflicht zur Übernahme von Beerdigungskosten

Vor einigen Monaten verstarb mein Cousin. Er hinterließ als Erben eine Tochter und seine Mutter. Letztere ist meine Tante, für die ich die Betreuung übernommen habe.
Sowohl Mutter als auch Tochter des Verstorbenen haben das Erbe rechtswirksam ausgeschlagen. Weitere Erben sind nicht vorhanden. Die Totenfürsorge für die Beerdigung des Verstorbenen wurde mangels Kenntnis von Anschrift und Aufenthalt seiner Tochter zunächst von seiner Mutter wahrgenommen.
Nach Ermittlung von Anschrift und Aufenthalt der Tochter des Verstorbenen haben wir uns erlaubt, ihr die angefallenen Kosten für Beerdigung und Trauerfeier hälftig in Rechnung zu stellen.
Dies wurde von ihr bzw. ihrer Rechtsanwältin aus zwei Gründen abgelehnt:
Zum einen hätte ihr verstorbener Vater nach Scheidung seiner Ehe durch die Nichterfüllung seiner Unterhaltsverpflichtung über viele Jahre seiner Tochter wesentlichen Schaden zugefügt. In Anbetracht dieser Pflichtverletzung sei eine Verpflichtung der Tochter des Verstorbenen zur anteiligen Übernahme der Bestattungskosten nicht tragbar. Ist dies rechtmäßig?
Zum anderen wäre sie aus wirtschaftlichen Gründen nicht zur finanziellen Beteiligung an den Bestattungskosten in der Lage. Letzteres kann sie durch ein aktuelles Schreiben des Sozialamtes belegen, welches beinhaltet, dass ihre Mandantin (die Tochter des Verstorbenen) nicht zum Elternunterhalt herangezogen werden könne. Die Unterhaltspflicht gegenüber ihrem Vater sei jedoch Voraussetzung für eine mögliche Pflicht zur Übernahme der Bestattungskosten. Ist dies zutreffend?
Falls die Forderung meiner Tante gegen ihre Enkeltochter rechtlich durchsetzbar sein sollte, stellt sich für uns darüber hinaus die Frage, ob wir diese rechtswirksam titulieren lassen sollen, um eine ggf. mögliche Verjährung zu verhindern.
Die Forderung könnte zu einem späteren Zeitpunkt bei Ableben meiner Tante durch Abzug vom Pflichtanteil des Erbes der Enkeltochter realisiert werden. Die Mutter des Verstorbenen hat ihre Enkeltochter mittels Testament vom Erbe ausgeschlossen, weitere über die gesetzliche Erbfolge anspruchsberechtigte Personen existieren nicht. Im Erbfall bei Ableben meiner Tante stünde der Tochter des Verstorbenen als dann einzige Hinterbliebene lediglich der Pflichtteil am Erbe ihrer Großmutter zu. Ich bin als Betreuer meiner Tante auch gleichzeitig für die Umsetzung ihres Testaments zuständig. Die Betreuungsverfügung gilt über den Tod meiner Tante hinaus.