Nachbarhecke behindert unsere Einfahrt in der Breite

Zusammenfassung:

In dieser Frage geht es um eine Hecke, die sich auf der Grenzlinie zwischen zwei Grundstücken befindet. Hier wird die Frage beantwortet, wer sich in Schleswig Holstein um das Zurückschneiden der Hecke kümmern muss.

Sowohl wir als auch unsere Nachbarn haben unsere Häuser nicht gebaut und die Hecke nicht angepflanzt, sie steht da seit Jahren. Wir leben seit 5 Jahren hier, seitdem versuchen wir das Problem zu lösen, doch es wird immer schlimmer. Gemäß Flurplan hätten wir eigentlich eine Zufahrtsbreite von 3,5 m, wie auch in der Genehmigungsplanung unseres Hauses vorgesehen. Problem ist dabei dass die Hecke an der Zufahrt entlang direkt auf die Grenze gepflanzt wurde, d.h. die Stämme der Thuja Pflanzen befinden sich direkt auf der Grenzlinie, die gesamten Zweige einer Seite ragen auf unsere Einfahrt. In Bodennähe handelt es sich dabei um ca 50 cm Überstand, leider wurde die Hecke in der Zeit bevor wir das Haus kauften auch noch über Jahrzehnte falsch geschnitten, so dass sie nach oben noch viel breiter wird und in einer Höhe von 120 cm um ca 80-90 cm in unsere Einfahrt übersteht. Somit bleiben uns nur ca 2,60 m Zufahrtsbreite, was bedeutet dass mal immer wieder mit dem Seitenspiegel die Hecke streift, Zulieferer und Handwerker mit größeren Fahrzeugen kaum in die Einfahrt kommen. Erschwert wird das ganze dadurch dass sich auf der anderen Seite der Einfahrt eine Mauer zum Nachbargrundstück befindet (die den Hang abstützt, also nicht zu entfernen ist), sodass man wenn ein breiteres Fahrzeug in der Einfahrt steht praktisch kaum noch dran vorbeikommt oder über die Mauer klettern muss. Es ist die einzige Zufahrt aufs Grundstück.
Gemäß Nachbarschaftsrecht in Schleswig-Holstein ist eine Hecke die auf der Grenze steht eigentlich als unser beider gemeinschaftliche Hecke anzusehen. Sie ist auch von der Höhe her viel höher als sie es aufgrund mangelndem Grenzabstand sein dürfte (ca. 240 cm), das ist uns aber egal, von unseren Vorgängern wurde auch nie Einspruch dagegen erhoben - uns geht es um die Beeinträchtigung durch die Heckenbreite. Wir haben schon versucht das Thema mit unseren Nachbarn gütlich zu regeln und Ihnen vorgeschlagen ob wir an unserer Auffahrt entlang die alte Hecke wegnehmen könnten und dafür einen Ersatz setzen lassen können, also entweder eine Neuanpflanzung der Hecke, die weit genug auf deren Grundstück steht oder z.b. einen Sichtschutzzaun o.ä. Es geht uns nicht um die Kosten, wir würden uns gerne daran beteiligen wenn sich da mit unserer Problem lösen ließe.
Leider zeigt sich unsere Nachbarin völlig ungeneigt uns entgegen zu kommen, sie sagt lediglich dazu das sei alles verjährt und vor uns gelaufen, wir könnten das nun nicht ändern. Wir sollen uns mit der Situation abfinden - gleichzeitig dürfen wir neuerdings den Pflegeschnitt nicht selbst oder durch unseren Gärtner vornehmen, sie möchte dass ausschließlich ihr Gärtner an dieser Hecke etwas macht. Sie erwartet aber von uns dass wir für den Schnitt auf unserer Seite bezahlen. Seit ihr Gärtner das macht ist die Hecke noch breiter geworden, da er nur die Spitzen leicht wegnimmt.
Wir haben schon mehrmals versucht mit ihr eine Lösung zu finden, auch hatte ich einen Brief hierzu verfasst, in dem ich mich auf das Nachbarschaftsrecht in Schleswig-Holstein bezogen habe, sie lässt dies jedoch nicht gelten und sagt sie habe sich erkundigt, ich sehe das falsch.
Auch die Art der Hecke begünstigt die unglücklichen Umstände:
Wenn wir die überhängenden Äste bis an die Grundstücksgrenze entfernen würden, wird die Thuja Hecke auf dieser Seite komplett braun sein - speziell Thujen treiben im braunen Holz leider nicht nach, es könnte also gut sein dass die Hecke dadurch eingeht, außerdem sieht sie dann natürlich von unserer Seite aus furchtbar aus.
Wie wäre ihr Rat dabei zu verfahren?
MfG