Mieter spurlos verschwunden

Ich habe eine Wohnung an einen jungen Mann mit Lebensgefährtin und zwei Kindern vermietet, wobei er der offizielle Mieter lt. Mietvertrag ist. Er hat zunächst pünktlich die Miete gezahlt, dann aber zunehmend schleppend und dann nur anteilig. Die Nachzahlung lt. Betriebskostenabrechnung des Vorjahres wurde nicht vorgenommen, zwei Raten der Mietkaution sind noch offen. Ich habe diverse Gespräche (zuletzt im Mai) mit dem Mieter geführt, wo letztlich finanzielle Schwierigkeiten ("Altlasten") zutage kamen. Mein Mieter sicherte mir zu, ab Juli wieder von Schulden befreit zu sein und dann seine Verbindlichkeiten mir gegenüber in monatlichen Raten abzahlen zu wollen. Aus Rücksicht auf ihn und seine Familie habe ich mich darauf eingelassen. Seit dem letzten Gespräch ist er nun wie vom Erdboden verschluckt. Die Mieten für Juni und Juli sind nicht überwiesen worden, der Briefkasten läuft über, telefonisch ist er nicht zu erreichen, und weder er noch seine Familie waren seither im Haus anzutreffen. Inzwischen ist seine Mietschuld auf knapp 2000 EUR angestiegen und ich habe keine Möglichkeit, abermals an ihn heranzutreten. Selbst eine fristlose Kündigung wäre sinnlos, da ja die Zustellung unmöglich ist, weil ich seinen jetzigen Aufenthaltsort nicht kenne. Die Einleitung des gerichtlichen Mahnverfahrens halte ich auch aus diesem Grund für derzeit unsinnig, aber auch, weil aus jetziger Sicht wahrscheinlich noch etliche offene Monatsmieten hinzukommen dürften. Daher möchte ich anfragen, wie lange ich mir diesen Zustand gefallen lassen muss. Gibt es "Wartefristen" hinsichtlich einer Weitervermietung für den Fall, dass sich der Mieter nun gar nicht mehr zeigt. Habe ich die Möglichkeit, trotz bestehenden Mietverhältnisses die Wohnung zu öffnen und ggf. an andere Interessenten erneut zu vermieten? Ein solcher ist nämlich bereits vorhanden und möchte sich verständlicherweise die Wohnung vorher anschauen, was unter den gegebenen Umständen nicht möglich ist. Was kann ich zur Durchsetzung meiner Ansprüche tun? Mir wäre sehr daran gelegen, die Wohnung an einen anderen, seriösen Menschen zu vermieten, auch um die Verbindlichkeiten des jetzigen Mieters nicht unnötig weiter in die Höhe zu treiben, was mir auch nicht zuzumuten ist, da davon ausgegangen werden muss, dass das gerichtliche Mahnverfahren erfolglos verlaufen wird.