Sehr geehrter Fragesteller,
auch wenn es noch kein schriftliches Dokument über den Arbeitsvertrag gibt, so besteht dieser trotzdem, zumindest wenn die Personen, die diesen mit der Mitarbeiterin ausgehandelt haben, hierzu berechtigt waren. Ein Arbeitsverhältnis besteht daher wohl. Kommt das Kündigungsschutzgesetz nicht zur Anwendung, kann innerhalb der gesetzlichen oder tarifvertraglichen Frist ohne weitere Gründe eine ordentliche Kündigung ausgesprochen werden. Etwas anderes gilt nur dann, wenn Ihre Mitarbeiterin einem besonderen Kündigungsschutz unterliegt, etwa wenn sie schwerbehindert (oder gleichgestellt) oder schwanger sein sollte.
Eine außerordentliche fristlose Kündigung dürfte, wie Sie selbst bemerkt haben, nicht in Betracht kommen. Diese kann nur ausnahmsweise ausgesprochen werden, wenn es dem Arbeitgeber unter keinen Umständen zuzumuten ist den Arbeitnehmer auch nur eine kurze Zeit weiter zu beschäftigen. Alleine, dass Ihre neue Mitarbeiterin ihren Aufgaben nicht gewachsen zu sein scheint, reicht hierfür definitiv nicht.
Da in Ihrem Tarifvertrag eine Probezeit von 6 Monaten vereinbart wurde, in der die 2-Wochenfrist gilt, können Sie auch in dieser Frist kündigen. Da es keinen schriftlichen Arbeitsvertrag gibt, kann es allerdings im Fall des Bestreitens zu Beweisschwierigkeiten hinsichtlich der Probezeit kommen. Wenn die Betriebsleiterin und/oder weitere Personen (je mehr um so besser) aber die Vereinbarung einer solchen bezeugen können, dürfte auch dies kein Problem darstellen, wenn Ihre Mitarbeiterin Ihrerseits keine Zeugen für das Gegenteil aufbringen kann.
Es ist demnach eine ordentliche Kündigung mit der zweiwöchigen Frist schriftlich auszusprechen. Sie sollten die Mitarbeiterin hierbei darauf aufmerksam machen, dass sie sich arbeitslos melden muss (tun Sie dies nicht, könnten Sie sich ihr gegenüber schadensersatzpflichtig machen). Die Kündigung sollte ferner, falls sie auch weiterhin nicht zur Arbeit erscheint, am besten per Boten überbracht und der Mitarbeiterin persönlich übergeben oder in den Briefkasten eingeworfen werden.
Ich hoffe ich konnte mit dieser Antwort weiterhelfen. Sollte etwas weiterhin unklar sein, können Sie gerne die Nachfragefunktion betätigen. Auch stehe ich für eine weitergehende Vertretung gerne zur Verfügung.
Mit freundlichen Grüßen
