Sehr geehrter Fragesteller,
sofern nichts anderes vereinbart worden ist, gilt auch bei einem mündlichen Mietvertrag die gesetzliche Kündigungsfrist. Hier gilt § 580a, sofern die Kellerräume separat vermietet worden sind und nicht mit in dem Wohnungsmietvertrag aufgeführt sind.
Eine Kündigung innerhalb weniger Tage (s. § 580a BGB) wäre sodann nur möglich, wenn die Mietzahlungen für den Keller täglich erfolgten. Ansonsten sind längere Kündigungsfristen in § 580a BGB vorgesehen.
Aus diesem Grund darf der Vermieter, selbst wenn die Kündigungsfrist eingehalten worden ist und sie den Keller nicht geräumt haben, ohne gerichtlichen Titel den Keller nicht selbst räumen. Sofern Sachen dadurch beschädigt werden oder wegkommen, haftet der Vermieter.
Insofern stellt sich das Vorhaben des Vermieters als wohl rechtswidrig und gegebenenfalls auch strafbar dar.
Ich empfehle Ihnen trotzdem, ein Gespräch mit Ihrem Vermieter zu suchen und ihn nochmals auf die entsprechenden gesetzlichen Regelungen hinzuweisen und mit ihm zu versuchen, einen Auszugstermin zu vereinbaren, sofern sie den Keller nicht weiter nutzen wollen und eine fristgerechte Kündigung rechtmäßig wäre.
Gerne stehe ich Ihnen weiterhin zur Verfügung hoffe, Ihnen hilfreich geantwortet zu haben.