Kostenankündigung und nur Rechnung vom Anwalt an die Gegenpartei als Anlage-zahlen?

Es hatte A einen Anwalt genommen gegen B.
A meinte es stünde ihr eine Vergütung zu und B verlangte die Fertigstellung dieser Leistung.
B hatte eine Nachbesserung verlangt und A daraufhin den Anwalt beauftragt.
Um es nicht eskalieren zu lassen lenkte B ein und zahlte den Restbetrag.
Daruf erhielt eine Kostennote mit folgendem Text:
In Anlage erhalten Sie unsere Kostennote in Höhe von 200, 00 € wir bitten Sie den Betrag ...
In Anlage befand sich eine Rechnung vom Anwalt an A.
Das heißt: B sollte die Rechnung bezahlen, die an A gestellt worden war.
Da B diese Rechnung an eine andere Person nicht buchen kann, verweigerte B die Zahlung.
Daraufhin der Anwalt von A:
Es sei gängige Praxis, eine Rechnung an A zu adressieren und von der Gegenseite bezahlen zu lassen.

Stimmt das?
Es wäre jedem Steuerrecht und jedem BWL und kaufmännischen Regeln entgegen, denn die mit MwSt beaufschlagte Rechnung kann nur vom Adressaten nach Unsatzsteuergesetz abzugsfähig eingesetzt werden.
Darüber hinaus besteht die Möglichkeit die Leistung ohne ordentliche Rechnung von B bezahlt zu bekommen und auch mit ordentlicher Rechnung von A.
Müssen Anwälte nicht auch in diesem Fall eine Rechnung an B stellen mit dem Bezug auf den Sachverhalt mit A.

So sind dem Betrug und vor allem der Steuerhinterziehung Tor und Tür geöffnet.
Ein Urteil wäre hier besonders hilfreich.