Kinderfreibetrag bei Heimunterbringung

Der Fall:

Eltern mit Kind wurden geschieden, Mutter ist weggezogen und hat das Kind mitgenommen, um den Umgang zu vereiteln. Später ist Mutter erziehungsunfähig geworden, Kind ist jetzt im Heim vollstationär untergebracht.

Vater zahlt Kostenbeitrag entsprechend Einkommen. Mutter zahlt nichts, weil kein Einkommen.

Vater beantragt Übertragung des vollen Kinderfreibetrags auf sich, weil Kind nicht bei Mutter gemeldet ist und sie auch nicht ihrer Unterhaltsverpflichtung nachkommt.

Finanzamt lehnt die Übertragung ab, weil Vater das Kind nicht betreut. Den halben Kinderfreibetrag bekommt er aber weiterhin.

Frage:

Hat ein Elter überhaupt Anspruch auf den Kinderfreibetrag, wenn er das Kind nicht betreut aber Unterhalt zahlt? Genauer gesagt: Das ist klar, dass er das hat, aber gilt der Kostenbeibetrag bei Heimunterbringung als Unterhalt? Das Finanzamt sieht es in obigem Fall so, aber das muss nichts heißen. Steht es irgendwo im Gesetz oder einem Urteil?

Wenn die Frage mit Ja beantwortet wurde: Hat Elter dann in obiger Konstellation nicht auch Anspruch auf den VOLLEN Kinderfreibetrag? Wenn nicht, warum nicht? Die Antwort "weil er das Kind nicht betreut" ist unbefriedigend. Hier gibt es doch sicher Präzedenzfälle, Urteile, irgendwas.

Ich habe versucht, im Internet zu googeln, aber alle Seiten, die sich damit befassen, bringen als Beispiel nur erwachsene Kinder, die wegen Behinderung vollstationär untergebracht sind. Oder sind die Beispiele übertragbar?