Gehalt nachträglich fordern von Arbeitgeber

Ich arbeite seit Juni 2016 in einem Krankenhaus als medizinische Fachangestellte und werde nach Tarifvertrag bezahlt.
Bei der Einsgellung wurde ein schriftlicher Vermerk in meiner Personalakte und in meinem Arbeitsvertrag gemacht in dem steht das ich nach der Einarbeitungezeit eine Gehlatsstufe höher eingruppiert werde ... dies ist aber nicht geschehen , heute war ich bei der Personalleiterin und sie klärt das und kümmert sich darum das es geändert wird ... nun meine Frage :
Da es eine schriftliche Vereinbarung gab in der Personalakte und im Arbeitsvertrag: kann ich dies Rückwirkend auch einfordern - also als Nachzahlung ? Und für die komplette Zeit nach der Einarbeitung?
Ich gehe davon aus das als Einarbeitungszeit die Probezeit von 6 Monaten gemeint ist ?