Besuchskosten für Schwester im Pflegeheim

Meine Schwester (58) befindet sich nach einem unverschuldeten Verkehrsunfall vor 3 Jahren in einem Pflegeheim.
Sie ist querschnittsgelähmt, leidet unter massivem Verlust des Kurzzeitgedächtnisses durch schwere Kopfverletzungen und verbringt die meiste Zeit im Bett mit Fernsehen.
Ich selbst bin 65, Rentner, und besuche sie seitdem regelmässig zusammen mit unserer 90jährigen Mutter, seltener auch mit einem weiteren Bruder, der selber gesundheitlich eingeschränkt ist.
Gelegentlich besucht sie unser Schwager mit uns zusammen in seiner Eigenschaft als Betreuer. Ein besonderes persönliches Verhältnis gibt zwischen beiden jedoch nicht. Ich habe bisher die Ersatzbetreuerschaft, die mir aber jetzt entzogen werden soll, weil ich vor einem halben Jahr Privatinsolvenz angemeldet habe.
Nun das Problem: Das Pflegeheim ist 300 km von meinem Wohnsitz und 200 km von dem meiner Mutter entfernt. Bisher führten wir die Besuche mit einem Auto durch, das mir mein Sohn leihweise zu Verfügung stellte. Dieses Auto ist jedoch 28 Jahre alt und keine Dauerlösung. Ein eigenes kann ich mir nicht leisten. Ich bekomme, ebenso wie meine Mutter, nur eine kleine Rente.
Meine Schwester wünscht ausdrücklich die Beibehaltung der Besuche, und es ist nachweislich so, dass ich neben unserer Mutter die wichtigste Kontaktperson für sie darstelle, vom Pflegepersonal einmal abgesehen. Zu den Mitbewohnern besteht eher weniger Kontakt, zumal diese zum grossen Teil deutlich deutlich als meine Schwester sind und selbst an entsprechenden Problemen leiden.
Ich führe den allergrössten Anteil der Gespräche mit ihr, die ihr offensichtlich Vergnügen bereiten. Der Betreuer kann das bestätigen.
Die reinen Benzinkosten werden von der Versicherung des Unfallverursachers übernommen, die in einem Vergleich einen entsprechenden Betrag zur Verfügung gestellt hatte. Ferner hat meine Schwester rund 300 000 Euro Schmerzensgeld bekommen, die auf einem Tagesgeldkonto liegen. Alle Heimkosten usw werden natürlich auch von der Versicherung getragen.

Meine Frage:
Wäre es möglich, dass meine Schwester (bzw der Betreuer in ihrem Namen) ein Auto kauft – wir dachten an einen Gebrauchtwagen in der Grössenordnung von 5000 Euro – und mir zur Verfügung stellt, damit ich die Besuche fortsetzen kann? Es gäbe zwar auch eine Bahnverbindung, die jedoch um ein mehrfaches zeitaufwändiger wäre (hin und zurück 6 Stunden, mit mehrfachem Umsteigen) und unserer 90jährigen Mutter (stark geh-und sehbehindert) auf keinen Fall zuzumuten wäre. Von den Kosten mal ganz abgesehen.
Dieses Auto würde sozusagen als reines Besuchsauto fungieren, und ich wäre bereit, ein Fahrtenbuch zu führen oder ähnliches.
Der Punkt ist natürlich: Das Betreungsgericht muss alle Ausgaben genehmigen, zumal in dieser Grössenordnung.
Der Betreuer ist mit dem Plan einverstanden. Meine Schwester sowieso, sie will nur eine Fortsetzung der Besuche.
Wie sollen wir da vorgehen, und was sollen wir beachten?

Noch eine Info zu den Besuchen: Wir (unsere Mutter und ich) haben meine Schwester die ersten 1 ½ Jahre ca alle 3 Tage besucht, als sie noch in unserer Umgebung untergebracht war, und nun, nachdem sie nach verschiedenen Therapiemassnahmen in dem derzeitigen Heim gelandet ist, alle 2 Wochen. Mehr gibt die Fahrkostenerstattung nicht her.
Ein Umzug in die Nähe wäre ein Umzug in ein Altenheim, und dort will sie nicht hin, weil da „nur alte Leute" sind, wie sie sagt. Zumindest im Moment wäre das keine Option, und auch deultlich auwändiger als die Anschaffung eines Autos. Ihre jetztige Wohnung ist eine Behinderten-WG mit acht Bewohnern. Der Gedanke dahinter war (von der Versicherung initiiert) eine familiäre Wohnsituation und Vebesserung ihrer sozialen Kontakte. Was leider bisher nicht in erhoffter Weise eingetreten ist.