Anspruch zu Elterngeld - arbeiten in Deutschland, wohnen in die Schweiz

Zusammenfassung:

Anspruch auf Elterngeld besteht nur, wenn die Eltern mit ihrem Kind in Deutschland leben.

Ich arbeite in Deutschland und bin in Deutschland registriert. Mein Mann arbeitet und lebt in der Schweiz. Ich bin jetzt im Mutterschutz und lebe in der Schweiz, wo das Kind geboren und registriert wird. Da ich nicht in der Schweiz arbeite, erhalte ich in der Schweiz kein Elterngeld.

Meine Fragen lauten wie folgt:
1. Habe ich in Deutschland ein Recht auf Elterngeld?
Ich arbeite und zahle Steuern in Deutschland, also gehe ich davon aus, dass ich das Recht auf den Bezug von Elterngeld in Deutschland habe.

2. Muss ich in Deutschland registriert sein, um Elterngeld zu erhalten, oder genügt es in Deutschland erwerbstätig zu sein ohne dort einen Wohnsitz zu haben?
Ändert sich die Antwort auf das oben genannte Problem, wenn ich in Deutschland registriert bin oder nicht? Mein Mann und ich leben in der Schweiz, und ich bin für die nächsten Monate in der Schweiz, wo ich das Kind zur Welt bringen werde. Ich werde jedoch weiterhin in Frankfurt arbeiten und habe einen verlängerten Vertrag mit meinem deutschen Arbeitgeber, der auch nach der Elternzeit weiter besteht.

3. Wenn das Kind in der Schweiz registriert ist, hat das irgendwelche Auswirkungen?
Wenn das Kind in der Schweiz registriert ist, dann hätte die Schweiz Vorrang und Deutschland würde nur die Differenz zwischen schweizerischem und deutschem Elterngeld zahlen? Und da die Schweiz kein Elterngeld an mich zahlt (da ich dort nicht arbeite), würde Deutschland das normale Elterngeld zahlen. Ist das richtig?

4. Wenn das Kind in der Schweiz angemeldet ist und Deutschland die Differenz zahlen würde, welche zusätzlichen Informationen muss ich den Behörden mitteilen?