Nachträglich erhobene Heimkosten

Meine Mutter hatte die letzten Jahre in einem Pflegeheim verbracht.Der Heimaufenthalt wurde in erster Linie durch das Sozialamt bezahlt und durch ihre Rente bezahlt. Die Beträge für das Heim sind vom Heim per Lastschrift abgebucht worden. Mein Bruder hatte meines Wissens nach auch einen (wohl geringen) Beitrag zu leisten. Im Februar letzten Jahres wurde ich vom Heim angerufen, dass sich der Beitrag ändert und ca. € 200 weniger abgebucht würde. Das muss irgendwie mit dem Beitrag meines Bruders zusammenhängen, genau weiß ich es nicht mehr. Das Heim hatte die Beträge von dem Konto meiner Mutter jeden Monat abgebucht, so dass ich davon ausgegangen bin, dass alles seine Richtigkeit hat. Es ist dann jeden Monat ein geringer Betrag auf dem Konto übriggeblieben, welcher dann für die persönlichen Bedürfnisse meiner Mutter verwendet wurde sowie für ihre Versicherungsbeiträge. Da ja dann immer ein Betrag übrig blieb, hatte meine Mutter auch keinerlei sonstigen Ansprüche, die ihr vom Amts wegen zugestanden hätten, in Anspruch genommen (wie z.B. Geld für neue Kleidung oder sonstiges), da ja immer für sie ausreichend Geld zur Verfügung stand.

Jetzt zu meiner eigentlichen Frage:
Im November ist meine Mutter verstorben. Um das Bankkonto meiner Mutter sowie Bestattung usw. hatte ich mich zu kümmern. Vor ein paar Wochen erhielt ich einen Anruf vom Pflegeheim, in dem meine Mutter war. Da wurde dann gesagt, dass die sich angeblich vertan hätten bei der Abbuchung, und noch ein größerer Betrag nachgezahlt werden müsste. Ich habe der Dame dann gesagt, dass ich da wohl der falsche Ansprechpartner wäre, da meine Mutter Sozialhilfe bekommen hatte. Ich hatte mir da auch keine großen Gedanken mehr darum gemacht. Gestern erhielt ich nun tatsächlich ein Schreiben des Heimes, in dem mitgeteilt wurde, dass ein Betrag in Höhe von ca. € 2.000 von mir nachgezahlt werden müsste, da die sich bei der Berechnung vertan hätten, und angeblich die komplette Rente hätte abgebucht werden müssen.
Das halte ich nicht für in Ordnung, denn erstens ist der Todesfall jetzt schon bald ein halbes Jahr her. Sind Pflegeheime tatsächlich berechtigt, auch nach so einer langen Zeit noch Forderungen zu stellen und vor allem, wenn der Fehler bei denen lag? Außerdem muss doch meiner Meinung nach nur richtig, dass ein (geringer) Betrag meiner Mutter geblieben ist, damit sie ihre persönlichen Bedürfnisse sowie ihre Sterbeversicherung bezahlen konnte. Zum anderen wenn das Heim vorher schon die ganze Rente abgebucht hätte, hätte meine Mutter sicherlich nicht auf ihre Leistungen, die ihr zustehen, verzichtet. So wurden eben das, was sie brauchte, von dem Restgeld bezahlt.

Im Moment sieht es nun so aus, dass, nach Abzug sämtlicher Bestattungskosten, die von ihrem Konto sowie ihrer Sterbeversicherung bezahlt wurden, ungefähr ein Nachlass in Höhe des vom Heims geforderten Betrages vorhanden ist.
Frage: Bin ich nun wirklich verpflichtet, dem Heim das Geld zu überweisen nach den vielen Monaten und nachdem die Heimmitarbeiterin selber zugegeben hat, dass der Fehler, dass angeblich zu wenig abgebucht wurde, bei denen lag oder müsste das Heim nicht aufgrund der Umstände darauf verzichten? Wie sieht das rechtlich aus?