KFZ-Versicherung - Unfall ohne bisherige Vetragsunterzeichung

Im August diesen Jahres habe ich mir ein neues Auto gekauft. Die Versicherung, bei der ich mit meinem vorherigen Fahrzeug auch versichert war (die Versicherung für das alte Auto lief zu diesem Zeitpunkt noch) hatte mir ein Angebot für eine Vollkaskoversicherung mit einer Doppelkarte zugeschickt. Dieses Angebot habe ich angenommen und die Doppelkarte beim Autohaus abgegeben, welches damit das Auto für mich zugelassen hat. Damit bin ich davon ausgegangen, bei dieser Versicherung versichert zu sein. Meine Bankverbindung und Genehmigung zum Lastschriftverfahren hatten sie ja noch aus der alten Versicherung.
Leider habe ich gestern einen leichteren Auffahrunfall verursacht. Heute wollte ich den Unfall meiner Versicherung melden. Als ich dazu meine Unterlagen raussuchen wollte, fiel mir auf, dass ich noch keinen Vertrag zugesendet bekommen habe. Bei der Durchsicht meiner Kontodaten fiel mir weiterhin (erstmals) auf, dass von der Versicherung noch nichts abgebucht worden ist.
Ich bekam einen gehörigen Schreck und rief gleich bei der Versicherung an, ohne jedoch den Unfall zu erwähnen. Nach einigem Hin- und Her teilte man mir mit, dass noch kein unterzeichneter Antrag von mir vorliege. Ich war und bin jedoch der Meinung, dass ich einen solchen gleich zu Anfang an die Versicherung geschickt habe. Ich habe seitdem ja auch nichts mehr von der Versicherung gehört.
Man sagte mir dann, man hätte mir eine Erinnerung zur Vertragsunterzeichnung zugesendet. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Adresse nicht ganz korrekt war. Ich habe diesen Brief jedenfalls nie erhalten.
Auf meine Frage, ob ich denn nun versichert wäre, beruhigte man mich und meinte, weil ich die Doppelkarte abgegeben hätte, sei ich in jedem Fall versichert und könnte auch mit dem Auto herumfahren. Man werde einen neuen Antrag erstellen und an mich senden. Wegen Druckerschwierigkeiten würde es jedoch etwas länger dauern und der Antrag wäre voraussichtlich am Montag bei mir.
Ich habe mich nicht getraut, den Unfall zu melden und bin jetzt sehr verunsichert.
Kann der Versicherer den Vertrag verweigern, wenn er von dem Unfall erfährt?
Bin ich in jedem Fall zum Zeitpunkt des Unfalls versichert, auch wenn ich den Antrag/Vertrag erst jetzt unterschreibe?
Die Geschädigte möchte wissen, ob die Versicherung einen eigenen Gutachter schickt oder die Werkstatt einen Gutachter stellen/beauftragen kann. Ich habe sie auf morgen vertröstet.
Wie soll ich mich verhalten?
Wann kann ich den Unfall melden?